1、全国硕士研讨生入学共同考试数学(一)试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分下列每题给出的四个选项中,只需一个选项是契合标题需求的请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上(1)若函数在接连,则(a) (b) (c) (d) 【答案】a【详解】由,得. (2)设函数可导,且则(a) (b) (c) (d) .【答案】c【详解】,然后单调递加,.(3)函数在点处沿着向量的方导游数为(a) (b) (c) (d) 【答案】d【详解】方向余弦,偏导数,代入即可.(4)甲乙两人赛跑,计时初步时,甲在乙前方10(单位:m)处.图中,实线标明甲的速度曲线(单位:m/s),虚线标明乙的速度曲线(单位:m/
2、s),三块阴影有些面积的数值一次为10,20,3,计时初步后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则(a) (b) (c) (d) 【答案】c【详解】在时,乙比甲多跑m,而最初步的时分甲在乙前方m处.(5)设为维单位列向量,为阶单位矩阵,则(a) 不可以逆(b) 不可以逆(c) 不可以逆(d) 不可以逆【答案】a【详解】可设,则的特征值为,然后的特征值为,因而不可以逆.(6)设有矩阵, (a)与类似,与类似(b) 与类似,与不类似(c) 与不类似,与类似(d) 与不类似,与不类似【答案】b【详解】的特征值为,但有三个线性无关的特征向量,而只需两个,所以可对角化, 则不可.(7)设为随机作业,若,则的充分必要条
3、件(a) (b) (c) (d) 【答案】a【详解】由得,即;由也可得.(8)设为来自全体的简略随机样本,记,则下列结论不正确的是(a)遵守分布 (b) 遵守分布(c) 遵守分布(d) 遵守分布【答案】b【详解】;. 二、填空题:914小题,每小题4分,共24分请将答案写在答题纸指定方位上(9)已知函数 【答案】0【详解】,没有三次项.(10)微分方程的通解为 【答案】【详解】特征方程得,因而.(11)若曲线积分在区域内与途径无关,则 【答案】【详解】有题意可得,解得.(12)幂级数在(-1,1)内的和函数 【答案】 【详解】.(13),是3维线性无关的列向量,则的秩为 【答案】2【详解】(1
4、4)设随即变量的分布函数,其间为标准正态分布函数,则 【答案】2【详解】.三、答复题:1523小题,共94分回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程请将答案写在答题纸指定方位上(15)(本题满分10分)设函数具有2阶接连偏导数,求.【答案】 (16)(本题满分10分)求.【答案】(17)(本题满分10分)已知函数由方程断定,求的极值. 【答案】, 方程两端对求导得:, 令,得. 其时,其时. 方程两端再对求导:, 令, 当,时,当,时. 所以其时函数有极大值,极大值为1,其时函数有极小值,极小值为0.(18)(本题满分10分)设函数在区间上具有2阶导数,且,.证明:(i)方程在区间内至少存在一个
5、实根;(ii)方程在区间内至少存在两个不一样实根.【答案】(1),由极限的部分保号性,又由零点存在定理知,使得,.(2)规划,由拉格朗日中值定理知,所以由零点定理知,使得, 所以原方程至稀有两个不一样实根。(19)(本题满分10分)设薄片型物体是圆锥面被割下的有限有些,其就任意一点处的密度为,记圆锥面与柱面的交线为c;(i)求c在平面上的投影曲线的方程;(ii)求s的质量m。【答案】(1)的方程为,投影到平面的方程为:(20)(本题满分11分)设矩阵有3个不一样的特征值,(i)证明:;(ii)若,求方程组的解.【答案】又有三个不一样的特征值,故为单根,且必定能类似对角化.(2) 由(1),的通解为,故
6、有.(21)(本题满分11分)设二次型在正交改换 下的标准形为,求的值及一个正交矩阵。(21) 【答案】二次型的矩阵,因为二次型在正交改换下的标准形为,故有特征值0,故.由得特征值为.解齐次线性方程组,求特征向量.对,,得;对,,得;对,,得;因为归于不一样特征值,现已正交,只需标准化:令,所求正交矩阵为,对应标准形为.(22)(本题满分11分)设随机变量与彼此独立,且的概率分布为,的概率密度为(i)求(ii)求的概率密度。22、 【答案】(1),.(2) 的分布函数为故的概率密度函数为.(23)(本题满分11分)某工程师为晓得一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量是已知
7、的.设n次测量成果彼此独立且均遵守正态分布.该工程师记载的是n次测量的必定过失.使用估量.(i)求的概率密度;(ii)使用一阶矩求的矩估量量;(iii)求的最大似然估量量.【答案】的分布函数为,所以的概率密度均为.(2) ,令,即,得的矩估量量为:,其间.(3)记的观测值为,其时,似然函数为,令.亲爱的用户:烟雨江南,画屏如展。在那桃花怒放的当地,在这诱人芳香的时节,愿你日子像春天相同阳光,心境像桃花相同秀丽,谢谢你的阅览。1、最困难的事就是知道自个。20.10.1110.11.202121:5719:57:4910月-2021:572、自知之明是最可贵的常识。二二二二年十月十一日2021年1
8、0月11日周日3、越是无能的人,越喜爱挑剔别人。19:5710.11.202121:5710.11.202121:5719:57:4910.11.202121:5710.11.20214、与肝胆人同事,无字句处读书。10.11.202110.11.202121:5719:5719:57:4919:57:495、三军可夺帅也。周日, 十月 11, 2021十月 20周日, 十月 11, 202110/11/20216、最大的骄傲于最大的自卑都标明心灵的最脆弱无力。7时57分7时57分11-10月-2010.11.20217、人生就是学校。20.10.1120.10.1120.10.11。2021年10月11日周日二二二二年十月十一日8、你让爱生命吗,那么不要浪费时刻。19:5719:57:4910.11.2021周日, 十月 11, 2021