1、精品文档2005 年考研数学一真题一、填空题 (本题共6 小题,每小题4 分,满分24 分 . 把答案填在题中横线上)x2( 1)曲线 y斜渐近线方程为 _.2×1( 2)微分方程 xy 2 yx ln x 满足 y(1)1解为 . _.9( 3)设函数 u(x, y, z)x 2y 2z2,单位向量 n1,则112181,1,163un=._.(1,2 ,3)( 4)设是由锥面 zx 2y 2与半球面 zr2x2y 2 围成空间区域,是整个边界外侧,则xdydz ydzdxzdxdy_.(5)设 1, 2,3 均为 3 维列向量,记矩阵a (1,2,3),b (123 , 122 43,13
2、29 3),如果 a1,那么 b.( 6)从数 1,2,3,4中任取一个数,记为x,再从 1,2, x 中任取一个数,记为y, 则p y2 =_.二、选择题 (本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分 . 每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前字母填在题后括号内)( 7)设函数 f (x)lim n 1 x3 n,则 f(x) 在 (, ) 内n(a)处处可导 .(b)恰有一个不可导点 .(c)恰有两个不可导点 .(d)至少有三个不可导点 .( 8)设 f(x)是连续函数 f(x) 一个原函数, mn 表示“ m 充分必要条件是n ”,则必有(a)f(x) 是偶函数f(
3、x) 是奇函数 .( b) f(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(c)f(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(d)f(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .( 9)设函数 u(x, y)(x y)(xy)xy(t)dt ,其中函数具有二阶导数,具有一阶导x y数,则必有(a)2u2u.( b)2 u2ux2y2x2y2 .2u2 u2 u2 u(c)x yy 2 .(d)x yx 2 .精品文档( 10)设有三元方程 xy zln y exz1 ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1) 一个邻域,在此邻域内该方程(a)只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y).(b)可确定
4、两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z) 和 z=z(x,y).(c)可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z) 和 z=z(x,y).(d)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z) 和 y=y(x,z).( 11)设 1,2 是矩阵 a 两个不同特征值,对应特征向量分别为1, 2,则1,a( 12 ) 线性无关充分必要条件是(a)10 .(b)20. (c)10 .(d)20 .( 12)设 a 为 n( n2)阶可逆矩阵,交换a 第 1 行与第 2 行得矩阵 b,a* , b* 分别为 a,b 伴随矩阵,则(a)交换 a* 第 1 列与第2列得 b*.(b) 交换 a*第 1行与
5、第 2行得 b*.(c)交换 a*第 1 列与第2 列得b*.(d)交换 a*第 1 行与第2 行得b*.( 13)设二维随机变量 (x,y) 概率分布为xy0100.4a1b0.1已知随机事件 x0 与 xy1 相互独立,则(a)a=0.2, b=0.3(b)a=0.4, b=0.1(c)a=0.3, b=0.2(d)a=0.1, b=0.4(14)设 x1, x 2, x n (n2) 为来自总体n(0,1) 简单随机样本, x 为样本均值, s2 为样本方差,则(a)nx n (0,1)(b)ns22 ( n).(c)(n1) x t (n1)(d)(n n1)x12 f (1, n1)
6、.sx i2i2三 、解答题(本题共9 小题,满分 94分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)( 15)(本题满分11 分)设 d( x, y) x2y 22, x0, y0 ,1x 2y 2 表示不超过 1x 2y 2 最大整数 . 计算二重积分xy1 x2y 2 dxdy.d( 16)(本题满分12 分).精品文档求幂级数( 1)n 1 (11) x2n收敛区间与和函数 f(x).n 1n(2n1)( 17)(本题满分11 分)如图,曲线c 方程为 y=f(x) ,点 (3,2)是它一个拐点,直线l1 与 l2 分别是曲线c 在点 (0,0)与 (3,2)处32x) f ( x)
7、 dx.切线,其交点为(2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数,计算定积分( x0( 18)(本题满分12 分)已知函数 f(x) 在 0, 1上连续,在 (0,1) 内可导,且 f(0)=0,f(1)=1.证明:( i)存在(0,1), 使得 f () 1;( ii )存在两个不同点,(0,1) ,使得 f ( ) f ( ) 1.( 19)(本题满分12 分)设函数( y) 具有连续导数, 在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线l 上,曲线积分( y)dx 2xydyl2x2y4值恒为同一常数.( i)证明:对右半平面 x0 内任意分段光滑简单闭曲线c,有( y)dx 2xydy0;c2
8、x2y4( ii )求函数 ( y) 表达式 .( 20)(本题满分 9 分)已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) (1 a) x12(1 a) x222x322(1 a)x1 x2 秩为 2.( i) 求 a 值;( ii ) 求正交变换 x qy ,把 f ( x1 , x2 , x3 ) 化成标准形;( iii ) 求方程f ( x1 , x2 , x3 ) =0 解 .( 21)(本题满分9 分)123已知 3 阶矩阵 a 第一行是 (a,b, c), a,b, c 不全为零, 矩阵 b246 ( k 为常数),且 ab=o,求36k线性方程组ax=0 通解 .( 22)(
9、本题满分 9 分)设二维随机变量 (x,y) 概率密度为1, 0x1,0y2x,f ( x, y)0,其他 .求:( i) (x,y) 边缘概率密度f x ( x), f y ( y) ;.精品文档( ii ) z2 xy 概率密度f z ( z).( 23)(本题满分9 分)设x1 , x 2 , x n (n 2) 为 来 自 总 体 n(0,1) 简 单 随 机 样 本 , x 为 样 本 均 值 , 记yix ix ,i1,2, n.求:( i)yi 方差 dyi ,i1,2, n;( ii ) y1 与 yn 协方差 cov (y1 ,yn ).精品文档2005 年考研数学一真题解析
10、一、填空题 (本题共6 小题,每小题4 分,满分24 分 . 把答案填在题中横线上)( 1)曲线 yx 2斜渐近线方程为y1 x1 .2×124【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】f ( x)limx 21,因为 a= limx2x2x2xxblimf ( x)axlimx1 ,xx2( 2×1)4于是所求斜渐近线方程为y1 x1 .24( 2)微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1119解为 yxln xx. .39【分析 】直接套用一阶线性微分方程yp( x) yq( x) 通解公式:y ep ( x)dxp( x) dx q(x)edx c ,
11、再由初始条件确定任意常数即可.【详解 】 原方程等价为y 2 y ln x , x22dx1dxx2于是通解为xy e ln x e dx c x 2 x ln xdx c=1 x ln x1 xc 1,139x 21 x ln x1 x.由 y(1)得 c=0 ,故所求解为 y939( 3)设函数 u(x, y, z)1x 2y 2z2,单位向量 n1 1,1,1 ,则u612183n【分析 】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n cos, cos , cos 方向导数为:uu cosu cosu cosnxyz因此,本题直接用上述公式即可 .【详解】 因为ux ,uy ,uz ,于是所求
12、方向导数为x3y6z9=3.(1,2 ,3)3.精品文档u=1111113 .n(1,2 ,3)3333333( 4)设是由锥面 zx 2y 2 与半球面zr2x2y 2 围成空间区域,是整个边界外侧,则xdydzydzdxzdxdy2 (12 )r3.2【分析 】本题是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球面(或柱面)坐标进行计算即可 .【详解】xdydzydzdxzdxdy3dxdydzr2 d 4 sin d22 (12 )r3.= 3d0002(5)设1, 2 , 3 均为 3 维列向量,记矩阵a ( 1, 2, 3),b( 123,1224 3 ,13 29 3)
13、,如果 a1,那么 b2 .【分析 】 将 b 写成用 a 右乘另一矩阵形式,再用方阵相乘行列式性质进行计算即可.【详解】由题设,有b( 123 ,12 24 3 ,132 93)111=(1,2,3)123,149111于是有ba123 122.149( )从数1,2,3,4中任取一个数,记为x,再从 1,2, x 中任取一个数,记为y,则6py2 =13.48【分析 】 本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验各种两两互不相容结果即为完备事件组或样本空间划分 .【详解】p y2=px1py2 x1+px2py2 x2+ px3 py2 x3+ px4 py2 x4.精品文档1
14、11113=(0).423448二、选择题 (本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分 . 每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前字母填在题后括号内)( 7)设函数 f (x)lim n 1×3 n,则 f(x) 在 (,) 内n(a)处处可导 .(b) 恰有一个不可导点 .(c)恰有两个不可导点 .(d)至少有三个不可导点.c【分析 】 先求出 f(x) 表达式,再讨论其可导情形 .【详解】当x1时,( )limn13n1;fxnx当 x1 时, f ( x)lim n 111 ;n3113当 x1 时, f ( x)lim x1) n.(3nxnxx3 ,x1,即
15、f ( x)1,1×1,可见 f(x) 仅在 x=1时不可导,故应选 (c).x 3 ,x1.( 8)设 f(x)是连续函数 f(x) 一个原函数, mn 表示“ m 充分必要条件是n ”,则必有(b)f(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .( b) f(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(c)f(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(d)f(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .a【分析 】 本题可直接推证,但最简便方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一:任一原函数可表示为f ( x)xf (t) dtc ,且 f ( x)f ( x).0当 f(x) 为 偶 函 数 时
16、, 有 f (x)f ( x) , 于 是 f (x) (1)f ( x) , 即f (x)f ( x) , 也 即f ( x)f (x) , 可 见 f(x) 为 奇 函 数 ; 反 过 来 , 若 f(x) 为 奇 函 数 , 则xf (t )dt0为偶函数,从而xf (t )dt c 为偶函数,可见 (a) 为正确选项 .f (x)0方法二:令 f(x)=1,则取 f(x)=x+1,排除 (b)、 (c);令 f(x)=x,则取 f(x)=1 x 2 , 排除 (d); 故应选 (a).2( 9)设函数 u(x, y)(xy)(xy)xy(t)dt ,xy其中函数具有二阶导数,具有一阶导
17、数,则必有(a)2u2u(b )2u2 ux2y2 .x2y2 .2 u2u2u2 u(c)x yy 2 .(d)xyx2.b .【分析】先分别求出2 u、2u2u,再比较答案即可 .x 2、x yy 2【详解】因为u(xy)(xy)( xy)(x y) ,xu(xy)(x y)(xy)(x y) ,y于是2 u( x y)(x y)( x y)( x y) ,x 22u( x y)( x y)( x y)( x y) ,xy2 u( xy)( xy)(xy)(x y) ,y 22u2 u,应选 (b).可见有y 2×2( 10)设有三元方程 xyzln yexz1 ,根据隐函数存在定理,存在
18、点内该方程精品文档(0,1,1) 一个邻域,在此邻域(e)只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y).(f)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z) 和 z=z(x,y).(g)可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z) 和 z=z(x,y).(h)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z) 和 y=y(x,z). d 【分析 】 本题考查隐函数存在定理,只需令f(x,y,z)= xy z ln yexz1 , 分别求出三个偏导数fz , fx , fy ,再考虑在点 (0,1,1) 处哪个偏导数不为0,则可确定相应隐函数 .【详解 】 令 f(x,y,z)= xyzln
19、yexz1 ,则fxy exz z , f yxz , fzln y exz x ,y且 fx (0,1,1) 2, fy (0,1,1)1, fz (0,1,1)0 . 由此可确定相应隐函数x=x(y,z) 和 y=y(x,z).故应选(d).( 11)设 1,2 是矩阵 a 两个不同特征值,对应特
征向量分别为1,2,则 1,a( 12 ) 线性无关充分必要条件是(a)10.(b)20.(c)10.(d)20.b.精品文档【分析 】 讨论一组抽象向量线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可.【详解 】 方法一:令k1 1k2 a(12 )0 ,则k1 1k2 1 1k2 2 20 ,( k1k
20、2 1 ) 1k2 2 20 .由于1, 2 线性无关,于是有k1k2 10,k220.当 20时,显然有 k10, k20 ,此时1 ,a(12 ) 线性无关; 反过来,若1,a( 12)线性无关,则必然有20(,否则,1 与a(12)= 11 线性相关 ),故应选 (b).方法二:由于 1,a(12) 1,11221,2101 ,21可见1,a( 12 ) 线性无关充要条件是010.故应选 (b).22( 12)设 a 为 n( n2 )阶可逆矩阵,交换a 第 1 行与第 2 行得矩阵b,a* , b* 分别为 a,b 伴随矩阵,则(b)交换 a*第 1列与第 2列得 b*.(b) 交换
21、a*第 1行与第 2行得 b*.(c)交换 a*第 1列与第 2列得b*.(d) 交换 a* 第 1行与第 2行得b*.c【分析 】 本题考查初等变换概念与初等矩阵性质,只需利用初等变换与初等矩阵关系以及伴随矩阵性质进行分析即可 .【详解 】 由题设,存在初等矩阵e12(交换 n 阶单位矩阵第1 行与第 2 行所得),使得e12a b,于是 b*(e12 a)*a* e*a*1a* e12 ,即12e12 e12a* e12b*,可见应选 (c).( 13)设二维随机变量 (x,y)概率分布为xy0100.4a1b0.1已知随机事件 x0 与xy1 相互独立,则(b)a=0.2, b=0.3(
22、b)a=0.4, b=0.1(c)a=0.3, b=0.2(d)a=0.1, b=0.4b.精品文档【分析】 首先所有概率求和为1,可得 a+b=0.5, 其次,利用事件独立性又可得一等式,由此可确定a,b 取值 .【详解 】 由题设,知a+b=0.5又事件 x0与xy1 相互独立,于是有px 0,xy1 px0pxy1 ,即a= (0.4a)(a b) ,由此可解得a=0.4, b=0.1,故应选 (b).(14)设 x1, x 2, x n (n2) 为来自总体n(0,1) 简单随机样本,x 为样本均值, s2 为样本方差,则(b)nx n (0,1)(b)ns2 2 ( n).(c)(n
23、1) x t (n 1)(d)(n n1)x12 f (1, n 1).dsx i2i2【分析 】 利用正态总体抽样分布性质和2 分布、 t 分布及 f 分布定义进行讨论即可 .【详解 】 由正态总体抽样分布性质知,x0nx n (0,1),可排除 (a);1n又选项 .x 0nx t(n1) ,可排除 (c); 而 (n 1) s2(n 1) s2 2 (n 1) ,不能断定 (b) 是正确ss12nnn因 为x12 2 (1),x i2 2 (n1),且x122 (1)与 x i2 2 (n1)相互独立,于是i2i 2×121( n1)x 121).故应选 (d).nn f (1, nx
24、i2x i2i 2ni21三、解答题(本题共9 小题,满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)( 15)(本题满分11 分)设 d( x, y) x2y 22, x0, y 0 ,1 x 2y 2 表示不超过 1x 2y 2 最大整数 . 计算二重积分 xy1x2y 2 dxdy.d【分析 】 首先应设法去掉取整函数符号,为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令(, )0221,0,0,d1x yxyxy.精品文档d2( x, y) 1 x 2y 22 , x 0, y 0 .则xy1x 2y 2 dxdy =xydxdy2xydxdydd1d22 sincos d13 dr
25、22 sincos d23 drrr0001=137 .848( 16)(本题满分12 分)求幂级数( 1)n 1 (11) x2n收敛区间与和函数 f(x).n 1n(2n1)【分析 】 先求收敛半径,进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到 .【详解】 因为 lim ( n1)(2n1)1n(2n1)1 ,所以当 x21时,原级数绝对收敛, 当 x21n(n 1)(2n 1)n(2n1) 1时,原级数发散,因此原级数收敛半径为1,收敛区间为( 1,1)记s( x)(1n )12n,1 2n( n2x , x ( 1 , 1 )n1 )则s ( x)(1)n 1×2 n1, x( 1,
26、1),n 1 2n1s ( x)(1)n 1 x2 n2112 , x (1,1).n 1x由于s(0 )s0 ,( 0 )所以xx1s (x)0s (t )dt0 1t2dtarctanx,1 ln(1s( x)xs (t) dtxx arctanxx2 ).0arctantdt02又(1)n1 x2 n1x22 , x(1,1),n 1x从而f ( x)2s (x )x21x22x arctan xln(12×22 , x( 1,1).x )1x( 17)(本题满分11 分)如图,曲线 c 方程为 y=f(x) ,点 (3,2)是它一个拐点,直线 l1与 l 2 分别是曲线c 在点 (0,
27、0)与 (3,2)处.精品文档(2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数,计算定积分3x) f( x) dx.切线,其交点为( x 20【分析】 题设图形相当于已知f(x) 在 x=0 函数值与导数值, 在 x=3 处函数值及一阶、二阶导数值 .【详解 】 由题设图形知, f(0)=0,f( 0)2 ; f(3)=2,f (3)2, f(3)0.由分部积分,知3x) f(x)dx3x)df( x)( x2x) f33(x)(2×1)dx(x 2( x2( x)f000031)df( x)(2×1) f33f ( x)dx=( 2x(x)2000= 162 f (3)f (0)20.( 1
28、8)(本题满分 12 分)已知函数 f(x) 在 0, 1上连续,在 (0,1) 内可导,且 f(0)=0,f(1)=1.证明:( i)存在(0,1), 使得 f ()1;( ii )存在两个不同点,(0,1),使得 f () f () 1.【分析 】 第一部分显然用闭区间上连续函数介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.【详解 】 ( i) 令 f (x)f ( x)1 x ,则 f(x) 在 0, 1上连续,且f(0)=-10, 于是由介值定理知,存在(0,1),使得 f()0,即 f ( )1.(ii)在 0, 和 ,1 上对 f(x) 分
29、别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同点(0, ),( ,1),使得 f (f ()f (0)()f (1) f ()0, f1于是f ( ) f( )f ( ) 1f ()11.11( 19)(本题满分12 分)设函数 ( y) 具有连续导数, 在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线l 上,曲线积分( y)dx 2xydy2x2y4l值恒为同一常数 .( i)证明:对右半平面 x0 内任意分段光滑简单闭曲线c,有( y)dx 2xydy0 ;c2x2y4( ii )求函数 ( y) 表达式 .【 分析 】 证明( i )关键是如何将封闭曲线c 与围绕原点任意分段光滑简单闭曲线相联系,这可.精品文档利用曲线积分可加性将c 进行分解讨论;而(ii )中求( y) 表达式,显然应用积分与路径无关即可.y【详解】 (i)l1