1、2015年全国硕士研讨生入学共同考试数学(二)试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只需一个选项契合标题需求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上.(1)下列异常积分收敛的是( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(d)【解析】,则.(2) 函数在内( )(a) 接连(b) 有可去接连点(c)有跳动接连点(d) 有无量接连点【答案】(b)【解析】,故有可去接连点.(3) 设函数,若在处接连则:( )(a) (b)(c)(d)【答案】(a)【解析】时,时,在处接连则:得得:,答案选择a(4)设函数在内接连,其间二阶导数的图形如图所示,则曲线的拐点的
2、个数为( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(c)【解析】根据图像调查存在两点,二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数满足,则与顺次是 ( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(d)【解析】此题查询二元复合函数偏导的求解.令,则,然后变为.故,因而.故选(d).(6)设是第一象限由曲线,与直线,围成的平面区域,函数在上接连,则 ( )(a) (b)(c)(d) 【答案】(b)【解析】根据图可得,在极坐标系下核算该二重积分的积分区域为所以故选b.(7) 设矩阵,.若集结,则线性方程组有无量多解的充分必要条件为 ( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(d)【解析】,由,
3、故或,一起或.故选(d)(8) 设二次型在正交改换下的标准形为,其间,若则在正交改换下的标准形为( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(a)【解析】由,故.且.由已知可得故所以.选(a)二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定方位上. (9) 则【答案】48【解析】. (10)函数在处的阶导数_【答案】【解析】根据莱布尼茨公式得:(11) 设接连,若,则【答案】【解析】已知,求导得,故有则. (12)设函数是微分方程的解,且在处获得极值3,则=.【答案】【解析】由题意知:,由特征方程:解得所以微分方程的通解为:代入,解得:解得:(13)若函数由方程断定,则=.
4、【答案】【解析】其时,则对该式两端求偏导可得.将(0,0,0)点值代入即有则可得(14) 若阶矩阵的特征值为,其间为阶单位阵,则部队式.【答案】21【解析】的一切特征值为的一切特征值为所以.三、答复题:1523小题,共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.(15) (本题满分10分)设函数,.若与在时是等价无量小,求的值.【答案】【解析】办法一:因为,那么,可得:,所以,办法二:由题意得由分母,得分子,求得c;所以由分母,得分子,求得;进一步,b值代入原式,求得 (16) (本题满分10分)设a0,d是由曲线段及直线,所围成的平面区域,别离标明d绕轴与绕
5、轴旋转成旋转体的体积,若,求a的值.【答案】【解析】由旋转体的体积公式,得由题求得(17) (本题满分11分)已知函数满足,求的极值.【答案】极小值【解析】两端对y积分,得,故,求得,故,两端关于x积分,得由,求得所以.令,求得.又,其时,为极小值.(18) (本题满分10分)核算二重积分,其间【答案】【解析】(19)(本题满分 11 分)已知函数,求零点的个数?【答案】个【解析】令,得驻点为,在,单调递减,在,单调递加故为仅有的极小值,也是最小值.而在,故然后有思考,所以.所以函数在及上各有一个零点,所以零点个数为2.(20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度
6、对时刻的改变率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却,30min后该物体降至,若要将该物体的温度持续降至,还需冷却多长时刻?【答案】【解析】设时刻物体温度为,比例常数为,介质温度为,则,然后,所以,即又所以,所以其时,所以还需要冷却min.(21) (本题满分10分)已知函数在区间上具有2阶导数,设,曲线在点处的切线与轴的交点是,证明.【证明】根据题意得点处的切线方程为令,得因为所以单调递加,又因为所以,又因为所以又因为,而在区间(a,b)上使用拉格朗日中值定理有所以因为所以单调递加所以所以,即,所以,结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵且.(1) 求的值;(2) 若矩阵满足,为3阶单位阵,求.【答案】【解析】(i)(ii)由题意知, (23) (本题满分11 分)设矩阵类似于矩阵.(1)求的值;(2)求可逆矩阵,使为对角阵.【答案】(1);(2)【解析】(i)(ii)的特征值时的基础解系为时的基础解系为a的特征值令,