华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
第12章 数项级数
12.1 温习笔记
一、级数的收敛性
1.有关界说
(1)给定一个数列{un},对它的各项顺次用“+”号联接起来的表达式
u1+u2+…un+… (12-1)
称为常数项无量级数或数项级数(也常简称级数),其间un称为数项级数(12-1)的通项或一般项.
数项级数(12-1)也常写作
或简略写作∑un.
(2)数项级数(12-1)的前n项之和,记为
(12-2)
称它为数项级数(12-1)的第n个有些和,也简称有些和.
(3)若数项级数(12-1)的有些和数列{sn}收敛于s(即
),则称数项级数(12-1)收敛,称s为数项级数(12-1)的和,记作
或s=∑un.
若{sn}是发散数列,则称数项级数(12-1)发散.
2.重要定理
(1)级数收敛的柯西原则
级数(12-1)收敛的充要条件是:任给正数
,总存在正整数n,使稳当m>n以及对任意的正整数p,都有
(12-3)
由定理(1),当即可得如下推论,它是级数收敛的一个必要条件.
(2)若级数∑un与∑vn都收敛,则对任意常数c,d,级数∑(cun+dvn)亦收敛,且
(3)去掉、添加或改动级数的有限个项并不改动级数的敛散性.
(4)在收敛级数的项中任意加括号,既不改动级数的收敛性,也不改动它的和.
二、正项级数
1.正项级数收敛性的一般区别原则
(1)正项级数∑un收敛的充要条件是:有些和数列{sn}有界,即存在某正数m,对悉数
正整数n有sn<m.
(2)比照原则
设∑un和∑vn是两个正项级数,假定存在某正数n,对悉数n>n都有
un≤vn
则
①若级数∑vn收敛,则级数∑un也收敛;
②若级数∑un发散,则级数∑vn也发散.
(3)设
(12-4)
(12-5)
是两个正项级数.若
(12-6)
则
①当0<l<+∞时,级数(12-4)、(12-5)一起收敛或一起发散;
②当l=0且级数(12-5)收敛时,级数(12-4)也收敛;
③当l=+∞且级数(12-5)发散时,级数(12-4)也发散.
2.比式区别法和根式区别法
(1)达朗贝尔列别法,或称比式区别法
设∑un为正项级数,且存在某正整n0及常数q(0<q<1).
①若对悉数n>n0,树立不等式
则级数∑un收敛.
②若对悉数n>n0,树立不等式
则级数∑un发散.
(2)比式区别法的极限方法
若∑un为正项级数,且
则
①当q<1时,级数∑un收敛;
②当q>1或q=+∞时,级数∑un发散.
(3)比式极限不存在时的区别法
设∑un为正项级数.
①若
,则级数收敛;
②若
,则级数发散.
(4)柯西区别法,或称根式区别法
设∑un为正项级数,且存在某正数n0及正常数l,
①若对悉数n> n0,树立不等式
则级数∑un收敛;
②若对悉数n>n0,树立不等式
则级数∑un发散.
(5)根式区别法的极限方法
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