??2020考研数学真题题2如图
本题考察函数在某点可导的充分或必要条件。我们先回顾下导数的定义,事实上导数就是研究函数在某点处的变化率问题,是通过因变量的改变量和自变量的改变量的比值的极限定义出来的。这里对于入门高数有个秒杀技巧,即直接去掉定义中的函数符号f算得的极限值为1,即在该点处导数的1倍,相关题型暂略以后补充。
既然导数是通过极限定义所得,这就意味着考察某点处可导性时要分左右来讨论,即左导数和右导数的相关定义形式,可参考上图修改δx的变化趋势。可导的充要条件也就表现为,左右导数都存在且相等。如图
与此同时,有定理支持称,可导必连续,但连续未必可导,常用的特列为绝对值函数如|x|。从几何意义上来看,连续指的是无断点,而可导指的是无尖点。
具备上述基础后,我们就可以来秒杀本题。
对于选项A和B,是讨论能否成为可导的充分条件。当x趋于0时,选项A中的|x|和选项B中的x^2表现为
仅从右侧趋于0,而单侧是无法成为可导的充分条件的。当然,也可以利用“可导必连续”这个原理来写出反例,比如取分段函数当x≠0时f=x^3可满足A和B,但取f(0)≠0即在0点间断,不连续肯定是不可导的。
对于选项D,也可以通过举反例直接排除。比如f=x在0点可导,但f/x^2=1/x趋于无穷大。既然已排除ABD,那本题的正确答案就是C,下面我们来证明C。
证明方法1根据导数的定义,既然函数f在0点处可导,可写出在0点处导数的定义,进而将欲计算的极限进行转换,如图:
证明方法2利用泰勒公式,即
附注泰勒公式
写在最后的话:对于选项B而言,条件只能说明函数比x^2高阶,无法判定在0处是否有意义或者是否连续,即若0是间断点肯定是不可导的。对选项C而言,若函数在0处可导,则函数肯定是比x高阶的无穷小量,当然也就比x^{1/2}高阶。????